Question

（本小题15分）

设数列{}的前n项和为，并且满足，（n∈N*）.

（Ⅰ）求，，；

（Ⅱ）猜想{}的通项公式，并用数学归纳法加以证明；

（Ⅲ）设，，且，证明：≤.

Answer 1

（本小题15分）

解：（Ⅰ）分别令，2，3，得

       ∵，∴，，.

   （Ⅱ）证法一：猜想：，由            ①

        可知，当≥2时，   ②

        ①-②，得  ，即.

        1）当时，，∵，∴；

        2）假设当（≥2）时，.

          那么当时，

              ，

              ∵，≥2，∴，

              ∴.

          这就是说，当时也成立，

          ∴（≥2）.  显然时，也适合.

         故对于n∈N*，均有

（Ⅲ）要证≤，

     只要证≤，

     即≤，

 将代入，得≤，w.w.w.k.s.5 u.c.o.m

即要证≤，即≤1.

∵，，且，∴≤,

即≤，故≤1成立，所以原不等式成立.