Question

【题目】已知四棱锥，底面为菱形， ,H为上的点，过的平面分别交于点，且平面．

（1）证明： ；

（2）当为的中点， ，与平面所成的角为，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）.

【解析】

（1）连结交于点，连结．由题意可证得平面，则．由线面平行的性质定理可得，据此即可证得题中的结论；

（2）结合几何体的空间结构特征建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量，然后求解二面角的余弦值即可.

（1）证明：连结交于点，连结．因为为菱形，所以，且为、的中点，因为，所以，

因为且平面，所以平面，

因为平面，所以．

因为平面， 平面，且平面平面，

所以，所以．

（2）由（1）知且，因为，且为的中点，

所以，所以平面，所以与平面所成的角为，

所以，所以，因为，所以．

分别以， ， 为轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则

，

所以．

记平面的法向量为，则，

令，则，所以，

记平面的法向量为，则，

令，则，所以，

记二面角的大小为，则．

所以二面角的余弦值为 ．