Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，圆C：（x+1）²+y²=16，点F（1，0），E是圆C上的一个动点，EF的垂直平分线PQ与CE交于点B，与EF交于点D．
（1）求点B的轨迹方程；
（2）当D位于y轴的正半轴上时，求直线PQ的方程；
（3）若G是圆上的另一个动点，且满足FG⊥FE．记线段EG的中点为M，试判断线段OM的长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知|BF|=|BE|，可得|BC|+|BF|=|BC|+|BE|=|CE|=4，利用椭圆的定义，可求点B的轨迹方程；
（2）当点D位于y轴的正半轴上时，可求E，D的坐标，利用PQ是线段EF的垂直平分线，可得直线PQ的方程；
（3）设点E，G的坐标分别为（x₁，y₁）和（x₂，y₂），则点M的坐标为，利用点E，G均在圆C上，且FG⊥FE，从而可求M点到坐标原点O的距离为定值．
解答：解：（1）由已知|BF|=|BE|，所以|BC|+|BF|=|BC|+|BE|=|CE|=4，
所以点B的轨迹是以C，F为焦点，长轴为4的椭圆，所以B点的轨迹方程为；   …（4分）
（2）当点D位于y轴的正半轴上时，因为D是线段EF的中点，O为线段CF的中点，所以CE∥OD，且CE=2OD，
所以E，D的坐标分别为（-1，4）和（0，2），…（7分）
因为PQ是线段EF的垂直平分线，所以直线PQ的方程为，
即直线PQ的方程为x-2y+4=0．         …（10分）
（3）设点E，G的坐标分别为（x₁，y₁）和（x₂，y₂），则点M的坐标为，
因为点E，G均在圆C上，且FG⊥FE，
所以，，（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=0，…（13分）
所以，，x₁x₂+y₁y₂=x₁+x₂-1．
所以==，
即M点到坐标原点O的距离为定值，且定值为．…（16分）
点评：本题考查椭圆的定义与标准方程，考查直线的方程，考查两点间的距离，确定椭圆的方程，表示出两点间的距离是关键．