Question

（2013•湖北）（选修4-4：坐标系与参数方程）
在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为

x=acosφ y=bsinφ

(φ为参数，a＞b＞0）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin(θ+

π

4

)=

2

2

m(m为非零常数）与ρ=b．若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为

6

3

．

Answer 1

分析：先根据极坐标与直角坐标的转换关系将直线l的极坐标方程分别为ρsin(θ+

π

4

)=

2

2

m(m为非零常数）化成直角坐标方程，再利用直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，从而得到c=

2

b，又b²=a²-c²，消去b后得到关于a，c的等式，即可求出椭圆C的离心率．

解答：解：直线l的极坐标方程分别为ρsin(θ+

π

4

)=

2

2

m(m为非零常数）化成直角坐标方程为x+y-m=0，
它与x轴的交点坐标为（m，0），由题意知，（m，0）为椭圆的焦点，故|m|=c，
又直线l与圆O：ρ=b相切，∴

|-m|

2

=b，
从而c=

2

b，又b²=a²-c²，
∴c²=2（a²-c²），
∴3c²=2a²，∴

c

a

=

6

3

．
则椭圆C的离心率为

6

3

．
故答案为：

6

3

．

点评：本题考查了椭圆的离心率，考查了参数方程化成普通方程，点的极坐标和直角坐标的互化，考查提高学生分析问题的能力．