Question

【题目】已知函数

（1）设，试讨论的单调性；

（2）若函数在上有最大值，求实数a的取值范围

Answer 1

【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）

【解析】

（1）计算，，讨论，两种情况，计算得到答案.

（2）讨论，，三种情况，求导得到函数单调区间，，由零点存在性定理，存在，使得，计算最值得到答案.

（1），令， ；

当时，，在上递增，无减区间；

当时，令，则，令，则，

所以在上单调递增，在上单调递减；

（2）由（1）可知，当时，在上递增，，

在上递增，无最大值，不合题意；

当时，，在上递减，

故，在上递减，无最大值，不合题意；

当时，，由（1）可知在上单调递增，在上单调递减；

设，则；

令，则；令，则，

在上单调递减，在单调递增，，即，

由此，当时，，即．

所以，当时，．

取，则，且，

又因为，

所以由零点存在性定理，存在，使得；.

当时，，即；

当时，，即；

所以在上单调递增，在上单调递减，

故函数在上有最大值．

综上，.