Question

3．已知函数y=log_a（x-3）-1（a＞0且a≠1）图象过定点P，当直线mx-ny-1=0（m＞0，n＞0）过点P时，则$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值为（　　）

• A． 4
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 9
• D． 18

Answer 1

分析 根据对数函数的图象和性质，可得P（4，-1），进而可得4m+n=1，由基本不等式，可得$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值．

解答 解：当x=4时，y=log_a（x-3）-1=-1恒成立，
故函数y=log_a（x-3）-1（a＞0且a≠1）图象过定点P（4，-1），
由直线mx-ny-1=0（m＞0，n＞0）过点P得：
4m+n=1，
故$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$）（4m+n）=4+1+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$≥5+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{4m}{n}}$=9，
即$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值为9，
故选：C

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，函数的最值及其几何意义，利用基本不等式求函数的最值，难度中档．