Question

素材1:正三棱台ABC—A₁B₁C₁上、下底面边长分别为1、3.

素材2:侧面与底面所成的二面角均为60°.

试根据上面素材构建一个问题，然后再解答.

Answer 1

构建问题：正三棱台ABC—A₁B₁C₁的上、下底面边长分别为1和3，三个侧面与下底面所成的角都是60°，试求此棱台的表面积及体积.

解析：设点O₁、O分别是上、下底面的中心，M、N分别是A₁B₁、AB的中点，连结O₁O、MN,作MP⊥CN于P，

由题设可知CN⊥AB，MN⊥AB，

∴∠MNC是侧面与底面所成二面角的平面角.

∴∠MNP=60°.

∵AB=3,A₁B₁=1，∴ON=CN=··AB=，O₁M=.

∴NP=ON-O₁M=，则O₁O=MP=1，MN=.

∴S_侧=3×（1+3）·=4.

∴S_表=S_上底+S_下底+S_侧=，

=（S_上+S_下+）·O₁O=.