Question

（理科）（本小题满分12分）如图分别是正三棱台ABC－A₁B₁C₁的直观图和正视图，O，O₁分别是上下底面的中心，E是BC中点．

（1）求正三棱台ABC－A₁B₁C₁的体积；

（2）求平面EA₁B₁与平面A₁B₁C₁的夹角的余弦；

（3）若P是棱A₁C₁上一点，求CP＋PB₁的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）；

（2）；（3）最小值为。

【解析】

试题分析：（1）由题意,正三棱台高为  ..2分

   ..4分

（2）设分别是上下底面的中心，是中点，是中点.以 为原点，过平行的线为轴建立空间直角坐标系. ，， ，，，，，

设平面的一个法向量，则即

取，取平面的一个法向

量，设所求角为

则   ..8分

（3）将梯形绕旋转到,使其与成平角

，由余弦定理得

即的最小值为   ..13分

考点：本题主要考查立体几何中的体积计算、角的计算。

点评：中档题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤。利用向量则简化了证明过程，对计算能力要求高。