Question

数列{a_n}的前n项和记为S_n，a_t=t，点（S_n，a_n+1）在直线y=2x+1上，n∈N^*．
（Ⅰ）当实数t为何值时，数列{a_n}是等比数列？
（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设b_n=log₃a_n+1，T_n是数列{

1

bn•bn+1

}的前n项和，求T₂₀₁₁的值．

Answer 1

（本小题满分12分）
（Ⅰ）由题意得a_n+1=2S_n+1，a_n=2S_n-1+1（n≥2）（1分）
两式相减得a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n，（4分）
所以当n≥2时，{a_n}是等比数列，
要使n≥1时，{a_n}是等比数列，则只需

a2

a1

=

2t+1

t

=3，从而t=1．（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得知a_n=3^n-1，b_n=log₃a_n+1=n，（9分）
∴

1

bn•bn+1

=

1

(n+1)n

=

1

n

-

1

n+1

（10分）
T2011=

1

b1b2

+…+

1

b2011b2012

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

2011

-

1

2012

)=

2011

2012

（12分）