Question

7．已知函数f（x）=ax³+（a+1）x²+27（a+2）x+b的图象关于原点成中心对称，求f（x）在区间[-4，5]上的最值．

Answer 1

分析 根据函数的奇偶性，求出a，b的值，从而求出函数f（x）的表达式，求出函数的导数，解关于导函数的表达式，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值即可．

解答 解：∵函数f（x）的图象关于原点成中心对称，则f（x）是奇函数，
所以，f（0）=b=0，且a+1=0，
解得a=-1，b=0，
于是f（x）=-x³+27x，f′（x）=-3x²+27=-3（x+3）（x-3），
∴当x∈（-3，3）时，f′（x）＞0；当x∈（-4，-3）和（3，5）时，f′（x）＜0．
又∵函数f（x）在[-4，5]上连续．
∴f（x）在（-3，3）上是单调递增函数，在（-4，-3）和（3，5）上是单调递减函数，
而f（-4）=-44，f（-3）=-54，f（3）=54，f（4）=44，
∴f（x）的最大值是54，f（x）的最小值是-54．

点评 本题考查了函数的奇偶性问题，考查函数的单调性以及函数的最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．