Question

19．已知m∈R，函数f（x）=（x²+mx+m）•e^x．
（Ⅰ）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求证：f（x）≥x³+x²+mxe^x+me^x．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1），f（1）的值，代入切线方程即可；（Ⅱ）问题转化为判断函数g（x）=e^x-x-1的单调性，求出g（x）≥0，从而证出结论．

解答 （Ⅰ）解：当m=1时，f（x）=（x²+x+1）e^x，
则f′（x）=（x²+3x+2）e^x，
∴K=f′（1）=6e，
∵f（1）=3e，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：
y-3e=6e（x-1），即6ex-y-3e=0；
（Ⅱ）证明：由题意，得：
f（x）-（x³+x²+mxe^x+me^x）
=x²e^x-x²-x³=x²（e^x-x-1），
当x=0时，结论显然成立，
当x＞0．∵x²＞0，令g（x）=e^x-x-1，
则g′（x）=e^x-1，
∴当x＞0时g（x）为增函数；
当x＜0时g（x）为减函数，
∴x=0时g（x）取最小值，g（0）=0．
∴g（x）≥0，∴≥0，
∴f（x）≥x²+x³．

点评 本题考查了曲线的切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．