Question

已知定点A（-1，0），F（2，0），定直线l：x=

1

2

，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍．设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由．

Answer 1

分析：（I）设P（x，y），欲求点P的轨迹方程，只须求出x，y之间的关系式即可，结合题中条件：“动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍”利用距离公式即得；
（II）先分类讨论：①当直线BC与x轴不垂直时；②当直线BC与x轴垂直时，对于第①种情形，设BC的方程为y=k（x-2），将直线的方程代入双曲线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合向量垂直的关系利用向量的坐标运算即可求得结论，从而解决问题．对于第②种情形，由于直线方程较简单，直接代入计算即可验证．

解答：解：（I）设P（x，y），则

(x-2)2+y2

=2|x-

1

2

|
化简得x²-

y2

3

=1（y≠0）；（4分）
（II）①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y=k（x-2）（k≠0）
与双曲线x²-

y2

3

=1联立消去y得（3-k²）x²+4k²x-（4k²+3）=0
由题意知3-k²≠0且△＞0
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则

x1+x2= 4k2 k2-3 x1x2= 4k2+3 k2-3

y₁y₂=k²（x₁-2）（x₂-2）=k²[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]=k²（

4k2+3

k2-3

-

8k2

k2-3

+4）=

-9k2

k2-3

因为x₁、x₂≠-1，所以直线AB的方程为y=

y1

x1+1

（x+1）
因此M点的坐标为（

1

2

，

3y1

2(x1+1)

）

FM

=(-

3

2

，

3y1

2(x1+1)

)，
同理可得

FN

=(-

3

2

，

3y2

2(x2+1)

)
因此

FM

•

FN

=(-

3

2

)2+

9y1y2

2(x1+1)(x2+1)

=

4

9

+

-81k2 k2-3

4( 4k2+3 k2-3 + 4k2 k2-3 +1)

=0
②当直线BC与x轴垂直时，直线方程为x=2，则B（2，3），C（2，-3）
AB的方程为y=x+1，因此M点的坐标为（

1

2

，

3

2

），

FM

=(-

3

2

，

3

2

)
同理可得

FN

=(-

3

2

，-

3

2

)
因此

FM

•

FN

=(-

3

2

)2+

3

2

×(-

3

2

)=0
综上

FM

•

FN

=0，即FM⊥FN
故以线段MN为直径的圆经过点F．（12分）

点评：本小题主要考查直线、轨迹方程、双曲线等基础知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力．