Question

已知函数f(x)=

ax

x+b

，且f（1）=1，f（-2）=4．
（1）求a、b的值；
（2）已知定点A（1，0），设点P（x，y）是函数y=f（x）（x＜-1）图象上的任意一点，求|AP|的最小值，并求此时点P的坐标；
（3）当x∈[1，2]时，不等式f(x)≤

2m

(x+1)|x-m|

恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（1）=1，f（-2）=4，代入可方程，解方程即可求解a，b得关于a，b的
（2）由（1）可知f(x)=

2x

x+1

，利用两点间的距离个公式代入|AP|2=(x-1)2+y2=(x-1)2+4(

x

x+1

)2，结合x的范围可求x+1=t＜0，然后结合基本不等式式即可求解
（3）问题即为

2x

x+1

≤

2m

(x+1)|x-m|

对x∈[1，2]恒成立，即x≤

m

|x-m|

对x∈[1，2]恒成立，则0＜m＜1或m＞2．
法一：问题化为m-

m

x

≤x≤

m

x

+m对x∈[1，2]恒成立，mx-m≤x²≤mx+m对x∈[1，2]恒成立，从而可转化为求解函数的最值，利用函数的单调性即可求解
法二：问题即为

2x

x+1

≤

2m

(x+1)|x-m|

对x∈[1，2]恒成立，即x≤

m

|x-m|

对x∈[1，2]恒成立，0＜m＜1或m＞2．问题转化为x|x-m|≤m对x∈[1，2]恒成立，令g（x）=x|x-m|，结合函数的性质可求

解答：解：（1）由f（1）=1，f（-2）=4．
得

a=b+1 -2a=4b-8

解得：

a=2 b=1

（3分）
（2）由（1）f(x)=

2x

x+1

，
所以|AP|2=(x-1)2+y2=(x-1)2+4(

x

x+1

)2，
令x+1=t，t＜0，
则|AP|2=(t-2)2+4(1-

1

t

)2=t2+

4

t2

-4(t+

2

t

)+8
=(t+

2

t

)2-4(t+

2

t

)+4=(t+

2

t

-2)2
因为x＜-1，所以t＜0，
所以，当t+

2

t

≤-2

2

，
所以|AP|2≥(-2

2

-2)2，（8分）
即AP的最小值是2

2

+2，此时t=-

2

，x=-

2

-1
点P的坐标是(-

2

-1，2+

2

)．（9分）
（3）问题即为

2x

x+1

≤

2m

(x+1)|x-m|

对x∈[1，2]恒成立，
也就是x≤

m

|x-m|

对x∈[1，2]恒成立，（10分）
要使问题有意义，0＜m＜1或m＞2．
法一：在0＜m＜1或m＞2下，问题化为|x-m|≤

m

x

对x∈[1，2]恒成立，
即m-

m

x

≤x≤

m

x

+m对x∈[1，2]恒成立，mx-m≤x²≤mx+m对x∈[1，2]恒成立，
①当x=1时，

1

2

≤m＜1或m＞2，
②当x≠1时，m≥

x2

x+1

且m≤

x2

x-1

对x∈（1，2]恒成立，
对于m≥

x2

x+1

对x∈（1，2]恒成立，等价于m≥(

x2

x+1

)max，
令t=x+1，x∈（1，2]，则x=t-1，t∈（2，3]，

x2

x+1

=

(t-1)2

t

=t+

1

t

-2，t∈（2，3]递增，
∴(

x2

x+1

)max=

4

3

，m≥

4

3

，结合0＜m＜1或m＞2，
∴m＞2
对于m≤

x2

x-1

对x∈（1，2]恒成立，等价于m≤(

x2

x-1

)min
令t=x-1，x∈（1，2]，则x=t+1，t∈（0，1]，

x2

x-1

=

(t+1)2

t

=t+

1

t

+2，t∈（0，1]递减，
∴(

x2

x-1

)min=4，
∴m≤4，
∴0＜m＜1或2＜m≤4，
综上：2＜m≤4（16分）
法二：问题即为

2x

x+1

≤

2m

(x+1)|x-m|

对x∈[1，2]恒成立，
也就是x≤

m

|x-m|

对x∈[1，2]恒成立，（10分）
要使问题有意义，0＜m＜1或m＞2．
故问题转化为x|x-m|≤m对x∈[1，2]恒成立，
令g（x）=x|x-m|
①若0＜m＜1时，由于x∈[1，2]，故g（x）=x（x-m）=x²-mx，g（x）在x∈[1，2]时单调递增，
依题意g（2）≤m，m≥

4

3

，舍去；
②若m＞2，由于x∈[1，2]，故g(x)=x(m-x)=-(x-

m

2

)2+

m2

4

，
考虑到

m

2

＞1，再分两种情形：
（ⅰ）1＜

m

2

≤2，即2＜m≤4，g（x）的最大值是g(

m

2

)=

m2

4

，
依题意

m2

4

≤m，即m≤4，
∴2＜m≤4；
（ⅱ）

m

2

＞2，即m＞4，g（x）在x∈[1，2]时单调递增，
故g（2）≤m，
∴2（m-2）≤m，
∴m≤4，舍去．
综上可得，2＜m≤4（16分）

点评：本题主要考查了利用待定系数法求解函数的解析式，及基本不等式在求解函数的 值域中的应用，函数的恒成立问题与函数最值求解中的综合应用．