题目内容

已知定点A(1,0)和定圆B:x2+y2+2x-15=0,动圆P和定圆B相切并过A点,
(1)求动圆P的圆心P的轨迹C的方程.
(2)设Q是轨迹C上任意一点,求∠AQB的最大值.
分析:(1)根据动圆P和定圆B相切并过A点,可知|PA|+|PB|=4>2,所以点P的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆,故可求点P的轨迹方程;
(2)设|QA|=m,|QB|=n,则m+n=4,则cos∠AQB=
m2+n2-4
2mn
=
(m+n)2-2mn-4
2mn
=
6
mn
-1≥
6
(
m+n
2
)
2
-1=
1
2
,当且仅当m=n时取“=”,根据∠AQB∈(0,π),可求∠AQB的最大值.
解答:解:(1)定圆B的圆心坐标为(-1,0)
设P(x,y),则
∵动圆P和定圆B相切并过A点
∴|PA|+|PB|=4>2,
∴所以点P的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆
所以点P的轨迹方程是
x2
4
+
y2
3
=1

(2)设|QA|=m,|QB|=n,则m+n=4
cos∠AQB=
m2+n2-4
2mn
=
(m+n)2-2mn-4
2mn
=
6
mn
-1≥
6
(
m+n
2
)
2
-1=
1
2

当且仅当m=n时取“=”,
∵∠AQB∈(0,π),
∴∠AQB的最大值是
π
3
点评:本题考查的重点是点的轨迹方程,考查余弦定理与基本不等式的运用,解题的关键是正确运用椭圆的定义,灵活解题.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网