题目内容
已知定点A(1,0)和定圆B:x2+y2+2x-15=0,动圆P和定圆B相切并过A点,
(1)求动圆P的圆心P的轨迹C的方程.
(2)设Q是轨迹C上任意一点,求∠AQB的最大值.
(1)求动圆P的圆心P的轨迹C的方程.
(2)设Q是轨迹C上任意一点,求∠AQB的最大值.
分析:(1)根据动圆P和定圆B相切并过A点,可知|PA|+|PB|=4>2,所以点P的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆,故可求点P的轨迹方程;
(2)设|QA|=m,|QB|=n,则m+n=4,则cos∠AQB=
=
=
-1≥
-1=
,当且仅当m=n时取“=”,根据∠AQB∈(0,π),可求∠AQB的最大值.
(2)设|QA|=m,|QB|=n,则m+n=4,则cos∠AQB=
m2+n2-4 |
2mn |
(m+n)2-2mn-4 |
2mn |
6 |
mn |
6 | ||
(
|
1 |
2 |
解答:解:(1)定圆B的圆心坐标为(-1,0)
设P(x,y),则
∵动圆P和定圆B相切并过A点
∴|PA|+|PB|=4>2,
∴所以点P的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆
所以点P的轨迹方程是
+
=1
(2)设|QA|=m,|QB|=n,则m+n=4
∴cos∠AQB=
=
=
-1≥
-1=
当且仅当m=n时取“=”,
∵∠AQB∈(0,π),
∴∠AQB的最大值是
设P(x,y),则
∵动圆P和定圆B相切并过A点
∴|PA|+|PB|=4>2,
∴所以点P的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆
所以点P的轨迹方程是
x2 |
4 |
y2 |
3 |
(2)设|QA|=m,|QB|=n,则m+n=4
∴cos∠AQB=
m2+n2-4 |
2mn |
(m+n)2-2mn-4 |
2mn |
6 |
mn |
6 | ||
(
|
1 |
2 |
当且仅当m=n时取“=”,
∵∠AQB∈(0,π),
∴∠AQB的最大值是
π |
3 |
点评:本题考查的重点是点的轨迹方程,考查余弦定理与基本不等式的运用,解题的关键是正确运用椭圆的定义,灵活解题.

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