Question

已知：tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=1，
tan15°tan25°+tan25°tan50°+tan50°tan15°=1，
tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan40°tan20°=1，…，
（1）分析上面各式的特点，写出一个能反映此特点的等式（你认为正确的就可以）；
（2）写出能反映此特点的一般的等式，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）由题意得，式子中共有三个角，最大角与最小角的和与另一个角互余，得到答案为tan5°•tan10°+tan10°•tan75°+tan75°•tan5°=1．
（2）分析上面各式的特点，写出能反映此特点的一般的等式：tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1  (α+β+γ=

π

2

)

解答：解：解：（1）你认为正确的就可以，
如：tan5°•tan10°+tan10°•tan75°+tan75°•tan5°=1（不唯一）；
（2）tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1(α+β+γ=

π

2

)，证明如下：
∵tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα
=tanβ（tanα+tanγ）+tanγtanα
=tanβtan（α+γ）（1-tanαtanγ）+tanγtanα
=（1-tanαtanγ）+tanγtanα
=1．

点评：本题考查类比推理、两角和的正切公式的变形 tanα+tanβ=tan（α+β ）•（1-tanα•tanβ） 的应用，以及互余的两个角的正切值等于1．