Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）设是函数的极值点，求证： ；

（Ⅱ）设是函数的极值点，且恒成立，求实数的取值范围．（其中正

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) .

【解析】试题分析：（1）由是函数的极值点可得，只要证明即可；

（2）），设，则

所以即在上单调递增，由于是函数的极值点，所以是在上的唯一零点，所以，即， 恒成立，即

的最小值恒大于等于零即可.

试题解析：

（Ⅰ）证明：

因为是函数的极值点，所以，解得

经检验， 符合题意

则，

当时， ， ，所以；

当时， ， ，所以

所以在上单调递减，在上单调递增

所以，从而，即，所以

（Ⅱ），设，则

所以即在上单调递增

由于是函数的极值点，所以是在上的唯一零点

所以，则，即

当时， ；当时，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

从而函数在处取得最小值

所以

因为恒成立，所以

所以，即，也即

令，则有

因为函数在单调递减，在上单调递增，

且当时， ；当时， ， 所以

从而， ，于是

所以，故的取值范围为