Question

已知F₁、F₂是椭圆的左、右焦点，点A是上顶点．
（1）求圆C：（x+1）²+（y+2）²=1关于直线AF₂对称的圆C'的方程；
（2）椭圆上有两点M、N，若M、N满足，（点M在x轴上方），问：圆C'上是否存在一点Q，使MQ⊥NQ？若存在，求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵F₁、F₂是椭圆的左、右焦点，点A是上顶点
∴F₂（1，0），A（0，1）
∴直线AF₂的方程为x+y﹣1=0
圆C：（x+1）²+（y+2）²=1的圆心坐标为C（﹣1，﹣2）
设C（﹣1，﹣2）关于直线AF₂对称的点的坐标为（x，y）
∴∴
即C（﹣1，﹣2）关于直线AF₂对称的点的坐标为（3，2）
∴圆C：（x+1）²+（y+2）²=1关于直线AF₂对称的圆C'的方程为（x﹣3）²+（y﹣2）²=1；
（2）圆C'上不存在点Q，使MQ⊥NQ．
∵F₁是椭圆的左焦点，∴F₁（﹣1，0）
∵椭圆上点M满足（点M在x轴上方），∴M（﹣1，）
∵椭圆上有两点M、N，若M、N满足
∴N（﹣1，﹣）
假设圆C'上存在一点Q，使MQ⊥NQ，
∵圆C'的方程为（x﹣3）²+（y﹣2）²=1
∴设Q（3+cosθ，2+sinθ）∴，
∴=0∴
∴
∴①
∵，
∴①式不成立，即假设不成立
∴圆C'上不存在点Q，使MQ⊥NQ．