Question

6．已知函数f_M（x）的定义域为实数集R，满足f_M（x）=$\left\{\begin{array}{l}1，x∈M\\ 0，x∉M\end{array}$（M是R的非空真子集），在R上有两个非空真子集A，B，且A∩B=∅，则F（x）=$\frac{{{f_{A∪B}}（x）+1}}{{{f_A}（x）+{f_B}（B）+1}}$的值域为{1}．

Answer 1

分析 对F（x）中的x属于什么集合进行分类讨论，利用题中新定义的函数求出f（x）的函数值，从而得到F（x）的值域即可．

解答 解：当x∈C_R（A∪B）时，f_A∪B（x）=0，f_A（x）=0，f_B（x）=0，∴F（x）=1，
同理得：当x∈B时，F（x）=1；
当x∈A时，F（x）=1，
故F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈A}\\{1，x∈B}\\{1，x∈{C}_{R}（A∪B）}\end{array}\right.$，即值域为{1}，
故答案为：{1}．

点评 本题主要考查了函数的值域、分段函数，解答关键是对于新定义的正确理解，属于创新型题目．