Question

15．如图，有一壁画，最高点A处离地面AO=4m，最低点B处离地面BO=2m，观赏它的C点在过墙角O点与地面成30°角的射线上．
（1）设点C到墙的距离为x，当x=$\sqrt{3}$m时，求tanθ的值；
（2）问C点离墙多远时，视角θ最大？

Answer 1

分析 （1）过C作CD⊥AO，垂足为D，则θ=∠ACD-∠BCD，利用差角的正切公式，求tanθ的值；
（2）利用差角的正切公式，我们可以求得tanθ，利用基本不等式可得结论．

解答 解：（1）作CD⊥AO于D，则$CD=x=\sqrt{3}$，
在直角△CDO中，$DO=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x=1$，…（2分）
$tan∠BCD=\frac{BO-OD}{CD}=\frac{1}{{\sqrt{3}}}$，$tan∠ACD=\frac{AO-OD}{CD}=\sqrt{3}$，
因∠BCD，∠ACD都为锐角，所以∠BCD=30°，∠ACD=60°，…（4分）
所以$tanθ=tan{30^0}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$；…（6分）
（2）设∠BCD=α，∠ACD=β．作如下规定：
当D点在B点下方时α为正，当D点在B点上方时α为负，当D点与B重合时α为零．类似地β也如此规定．
于是有$α，β∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$，θ=β-α，…（8分）
$tanα=\frac{BO-OD}{CD}=\frac{{2-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x}}{x}$，$tanβ=\frac{AO-OD}{CD}=\frac{{4-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x}}{x}$…（10分）
$tanθ=tan（β-α）=\frac{tanβ-tanα}{1+tanβ•tanα}$=$\frac{{\frac{{4-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x}}{x}-\frac{{2-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x}}{x}}}{{1+\frac{{4-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x}}{x}•\frac{{2-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x}}{x}}}$=$\frac{2}{{\frac{4}{3}x+\frac{8}{x}-2\sqrt{3}}}$…（12分）$≤\frac{2}{{2\sqrt{\frac{4}{3}x•\frac{8}{x}}-2\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{{4\sqrt{2}-3}}$…（14分）
当且仅当$\frac{4}{3}x=\frac{8}{x}$，$x=\sqrt{6}$时tanθ最大，从而θ最大，此时C点离墙$\sqrt{6}m$．…（16分）

点评 本题以实际问题为载体，考查差角的正切函数公式，考查基本不等式的运用，解题的关键是利用差角的正切函数公式构建函数模型．