Question

已知数列{a_n}满足a₁=0，a₂=2，a_n+2=[1+

1+(-1)n

2

]a_n+2[1+（-1）ⁿ⁺¹]，n=1，2，3…．
（1）求a₃，a₄，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前2n项和．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据数列的通项公式，利用分类的方法求出数列的通项公式．
（2）利用分类法求数列的和．

解答： 解：已知：数列{a_n}满足a_n+2=[1+

1+(-1)n

2

]a_n+2[1+（-1）ⁿ⁺¹]，n=1，2，3…．
则：a₃=a₁+4=4，
a₄=2a₂=4，
则：当n为偶数时，a_n+2=2a_n（n≥2），
所以：an=2

n

2

．
当n为奇数时，a_n+2=a_n+4（n≥1），
所以：a_n=2n-2．
所以：an=

2 n 2 (n为偶数) 2n-2(n为奇数)

（2）由（1）an=

2 n 2 (n为偶数) 2n-2(n为奇数)

得到：T_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）
=

n(a1+a2n-1)

2

+

a2(1-qn)

1-q

=n（2n-2）+2ⁿ⁺¹-2
=2ⁿ⁺¹+2n²-2n-2．

点评：本题考查的知识要点：数列通项公式的求法，利用分类法求数列的和，属于中等题型．