Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=x（1-x），若数列{a_n}满a₁=

1

2

，且a_n+1=

1

1-an

，则f（a₁₁）=（　　）

• A、6
• B、-6
• C、2
• D、-2

Answer 1

考点：数列递推式

专题：函数的性质及应用,点列、递归数列与数学归纳法

分析：由已知求出函数在x＞0时的解析式，再由数列递推式求出a₁₁，代入函数解析式得答案．

解答： 解：设x＞0，则-x＜0，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=-[-x（1+x）]=x（1+x）．
由a₁=

1

2

，且a_n+1=

1

1-an

，的a2=

1

1-a1

=

1

1- 1 2

=2，
a3=

1

1-a2

=

1

1-2

=-1，a4=

1

1-a3

=

1

1-(-1)

=

1

2

．
…
∴数列{a_n}是以3为周期的周期数列，
则a₁₁=a_3×3+2=a₂=2．
∴f（a₁₁）=f（2）=2×（2+1）=6．
故选：A．

点评：本题考查了数列递推式，考查了数列的周期性，训练了函数解析式的求法，是中档题．