Question

在正四面体ABCD中，点E为BC的中点，点F为AD的中点，则异面直线AE与CF所成角的余弦为（　　）

• A、

  1

  3

• B、

  1

  2

• C、

  2

  3

• D、

  6

  3

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：综合题,空间角

分析：连接ED，取ED的中点M，连接CM、FM，则FM∥AE，且FM=

1

2

AE，所以异面直线AE与CF所成的角即为∠CFM或其补角，然后在△MFC中，借助余弦定理解出所求的角．

解答： 解：如图所示：设正四面体ABCD的棱长为a，
连接ED，取ED的中点M，连接CM、FM，则FM∥AE，且FM=

1

2

AE，
∴异面直线AE与CF所成的角即为∠CFM或其补角，
∵AE=CF=

3

2

a，
∴FM=

3

4

a
在Rt△MEC中，EC=

1

2

a，EM=

3

4

a，
∴MC=

7

4

a
∴cos∠CFM=

CF2+FM2-MC2

2×CF×FM

=

2

3

．
故选：C．

点评：本题主要考查了异面直线所成的角，空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力和思维能力．求异面直线所成的角，一般有两种方法，法一几何法，即利用“作、证、求”求得角；法二向量法，即利用向量的数量积公式求向量的夹角的余弦值．