Question

11．已知几何体A-BCED[如图（1）]的三视图如图（2）所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，已知几何体A-BCED的体积为16．

（1）求实数a的值；
（2）将直角三角形ABD绕斜边AD所在直线旋转一周，求该旋转体的表面积．

Answer 1

分析 （1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=a，利用几何体A-BCED的体积为16，求实数a的值；
（2）过B作AD的垂线BH，垂足为H，得BH=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，求出圆锥底面周长，两个圆锥的母线长，即可求该旋转体的表面积．

解答 解：（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=a，
体积V=$\frac{1}{3}•4•\frac{（a+4）×4}{2}$=16，
解得a=2；
（2）在RT△ABD中，AB=4$\sqrt{2}$，BD=2，AD=6，
过B作AD的垂线BH，垂足为H，得BH=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
该旋转体由两个同底的圆锥构成，圆锥底面半径为BH=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
所以圆锥底面周长为C=2π•B$\frac{4\sqrt{2}}{3}$=$\frac{8\sqrt{2}π}{3}$，两个圆锥的母线长分别为4$\sqrt{2}$，2，
故该旋转体的表面积为$S=\frac{1}{2}×\frac{8\sqrt{2}π}{3}×（2+4\sqrt{2}）$=$\frac{（32+8\sqrt{2}）π}{3}$．

点评 本题考查了圆锥的侧面积公式、积体公式和解三角形等知识，属于中档题．