Question

（2009•温州二模）已知向量

a

=(1，sinx)，

b

=(sin2x，cosx)，函数f(x)=

a

•

b

，x∈[0，

π

2

]．
（1）求f（x）的最小值和单调区间；
（2）若f(α)=

3

4

，求sin2α的值．

Answer 1

分析：先利用向量数量积运算，求得函数f（x）的解析式，再利用二倍角公式和两角差的正弦公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）型函数，（1）利用正弦函数的有界性求得函数f（x）的最小值，将内层函数置于外层函数的单调增区间上，解不等式即可得函数f（x）的单调增区间，同理可得其单调减区间；（2）利用配凑角的方法，将角2α看做2α-

π

4

+

π

4

，再利用两角和的正弦公式即可求得所求函数值，但角2α-

π

4

的取值范围的确定是一个难点

解答：解：f(x)=

a

•

b

=sin²x+sinxcosx=

1-cos2x

2

+

1

2

sin2x=

1

2

（sin2x-cos2x）+

1

2

=

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

（1）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]
∴当2x-

π

4

=-

π

4

，即x=0时，f（x）最小为-

2

2

×

2

2

+

1

2

=0
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

π

2

+2kπ，得-

π

8

+kπ≤x≤

3π

8

+kπ，
由

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

3π

2

+2kπ，得

3π

8

+kπ≤x≤

7π

8

+kπ，
取k=0，结合x∈[0，

π

2

]
∴函数f（x）的单调增区间为[0，

3π

8

]，单调减区间为[

3π

8

，

π

2

]
（2）∵f(α)=

3

4

，∴

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

=

3

4

∴sin（2x-

π

4

）=

2

4

∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]
∵0＜sin（2x-

π

4

）＜

1

2

∴2x-

π

4

∈（0，

π

6

）
∴cos（2x-

π

4

）=

14

4

∴sin2x=sin（2x-

π

4

+

π

4

）=

2

2

sin（2x-

π

4

）+

2

2

cos（2x-

π

4

）=

2

2

（

2

4

+

14

4

）=

7 +1

4

点评：本题主要考查了向量的数量积运算，三角变换公式在三角化简和求值中的运用，y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，利用三角函数值确定角的范围，并利用变换角的方法求函数值是解决本题的关键