题目内容
在递增数列{an}中，a1=1，
．（1）求an，并证明：
；（2）若
，求证：当n≥2时，
．
【答案】分析：（1）利用条件可得
，从而可得{
}是以1为首项，1为公差的等差数列，即可求an，利用放缩法，裂项求和，可以证明结论；
（2）确定数列的通项，利用数学归纳法，可以证明不等式成立．
解答：（1）解：∵递增数列{an}中，a1=1，
，
∴
∴
∴
∵a1=1，
∴{
}是以1为首项，1为公差的等差数列
∴
∴
∴
=
（n≥2）
∴
；
（2）证明：∵
，
∴
∴n=2时，
成立；
设n=k（k≥2）时，结论成立，即
则n=k+1时，
下证
，
即证
即证k2+8＞0显然成立
综上可知，当n≥2时，
．
点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查不等式的证明，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
，从而可得{
}是以1为首项，1为公差的等差数列，即可求an，利用放缩法，裂项求和，可以证明结论；（2）确定数列的通项，利用数学归纳法，可以证明不等式成立．
解答：（1）解：∵递增数列{an}中，a1=1，
，∴
∴
∴
∵a1=1，
∴{
}是以1为首项，1为公差的等差数列∴
∴
∴
=
（n≥2）∴
；（2）证明：∵
，∴
∴n=2时，
成立；设n=k（k≥2）时，结论成立，即
则n=k+1时，
下证
，即证
即证k2+8＞0显然成立
综上可知，当n≥2时，
．点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查不等式的证明，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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