Question

在递增数列{a_n}中，a₁=1，(an+an+1-1)2=4anan+1．
（1）求a_n，并证明：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜2；
（2）若anbn=

n3+n2

n2+6n+9

(n∈N+)，求证：当n≥2时，b1+b2+…+bn＜

n

8

．

Answer 1

分析：（1）利用条件可得

an+1

-

an

=1，从而可得{

an

}是以1为首项，1为公差的等差数列，即可求a_n，利用放缩法，裂项求和，可以证明结论；
（2）确定数列的通项，利用数学归纳法，可以证明不等式成立．

解答：（1）解：∵递增数列{a_n}中，a₁=1，(an+an+1-1)2=4anan+1，
∴an+an+1-1=2

anan+1

∴(

an+1

-

an

)2=1
∴

an+1

-

an

=1
∵a₁=1，
∴{

an

}是以1为首项，1为公差的等差数列
∴

an

=n
∴an=n2
∴

1

an

=

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

（n≥2）
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜1+1-

1

n

＜2；
（2）证明：∵anbn=

n3+n2

n2+6n+9

(n∈N+)，
∴bn=

n+1

n2+6n+9

∴n=2时，b1=

3

25

＜

2

8

成立；
设n=k（k≥2）时，结论成立，即b1+b2+…+bk＜

k

8

则n=k+1时，b1+b2+…+bk+1＜

k

8

+

k+1

(k+4)2

下证

k

8

+

k+1

(k+4)2

＜

k+1

8

，
即证

k+1

(k+4)2

＜

1

8

即证k²+8＞0显然成立
综上可知，当n≥2时，b1+b2+…+bn＜

n

8

．

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查不等式的证明，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．