Question

如下图，正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，若AB₁⊥BC₁．求证：AB₁⊥CA₁．

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Answer 1

答案：
解析：

证明：取A1B1的中点D1，连结C1D1，则C1D1⊥A1B1，又平面A1B1C1⊥平面A1ABB1，∴C1D1⊥平面A1ABB1，连结BD1，则BD1是BC1在平面A1ABB1上的射影．∵AB1⊥BC1，∴AB1⊥BD1(三垂线定理) 　　取AB中点D，连结CD，则CD⊥AB，又平面ABC⊥平面A1ABB1，∴CD⊥平面A1ABB1，连结A1D，则A1D为A1C在平面A1ABB1上的射影． 　　∵D、D1分别是AB、A1B1的中点，∴A1D∥BD1，又BD1⊥AB1，∴A1D⊥AB1，∴AB1⊥CA1お(三垂线定理)．