Question

已知函数．
(1)若曲线在x=l和x=3处的切线互相平行，求a的值及函数的单调区间；
(2)设，若对任意，均存在，使得，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）单调递增区间为，，单调递减区间为. （2）.

解析试题分析：（1）首先依题意求得，确定函数的解析式，
进一步求导数：，求驻点，分区间讨论导数值的正负，确定得到单调区间.
（2）将问题加以转化：若要命题成立，只须当时，.
由可知， 当时,
所以只须.
问题进一步转化成确定的最大值，注意到，
分时，时，时，时，分别讨论.
试题解析：（1），
由得，  3分
所以：单调递增区间为，，
单调递减区间为.       6分
（2）若要命题成立，只须当时，.
由可知， 当时,
所以只须.     8分
对来说，，
①当时，
当时，显然，满足题意，
当时，令，
，所以递减，所以，满足题意，
所以满足题意；     10分
②当时，在上单调递增，
所以得 ，  12分
综上所述，.     13分
考点：导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性、最值.