Question

已知函数在上是增函数，上是减函数．
（1）求函数的解析式；
（2）若时，恒成立，求实数m的取值范围；
（3）是否存在实数b，使得方程在区间上恰有两个相异实数根，若存在，求出b的范围，若不存在说明理由．

Answer 1

⑴；⑵；⑶

解析试题分析：⑴求导数，求驻点，根据驻点函数值为0，得到的方程，进一步得到函数解析式.
⑵通过求导数、求驻点及驻点的唯一性，得到函数的最值，使
⑶构造函数，即，．
利用导数法，研究函数的单调区间，得增区间，减区间．
从而要使方程有两个相异实根，须有，得解.
试题解析：⑴
依题意得，所以，从而  2分
⑵
令，得或（舍去），所以      6分
⑶设，
即，．                          7分
又，令，得；令，得．
所以函数的增区间，减区间．
要使方程有两个相异实根，则有
，解得
考点：应用导数研究函数的单调性、极值，函数与方程.