Question

求证:两条平行线和同一平面所成的角相等.

Answer 1

证明:(1)当两条平行线中有一条和平面平行或在平面内时,则另一条直线

一定和平面平行或在平面内,这时两条直线和平面所成的角都是0°,所以它们相等.

(2)当两条平行线中有一条直线和平面垂直时,则另一条直线也必定和平面垂直,这时两条

直线和平面所成的角都是90°,所以它们相等.

(3)当两条平行线中有一条直线是平面的斜线时,设a∥b,且a、b都是平面α的斜线,斜足分别为A和B,在a、b上分别取P、Q两点,使P、Q在平面α的同侧.作PM⊥α,QN⊥α,M、N为垂足,连结AM、BN,则AM和BN分别是a、b在平面α内的射影.所以∠PAM、∠QBN分别是a、b和平面α所成的角.

在△AMP和△BNQ中,∠AMP=∠BNQ=90°.

∵PA∥QB,PM∥QN,并且方向相同,

∴∠APM=∠BQN.

∴∠PAM=∠QBN,即斜线a、b和平面α所成的角相等.

综上讨论得,两条平行线和同一平面所成的角相等.

小结:命题:两条平行直线和同一平面所成的角相等,是真命题.其逆命题:和同一平面成相等角的两条直线平行,是假命题.