Question

已知椭圆 

x2

m

+

y2

n

=1（常数m、n∈R⁺，且m＞n）的左右焦点分别为F₁，F₂ ，M、N为短轴的两个端点，且四边形F₁MF₂N是边长为2的正方形．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）过原点且斜率分别为k和-k（k≥2）的两条直线与椭圆

x2

m

+

y2

n

=1的交点为A、B、C、D（按逆时针顺序排列，且点A位于第一象限内），求四边形ABCD的面积S的最大值．．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

m-n=n 2 n =2 2

，得

m=4 n=2

，由此能得到所求椭圆方程．
（Ⅱ）设A（x，y）．由

y=kx x2 4 + y2 2 =1

得A(

2

1+2k2

，

2k

1+2k2

)．根据题设直线图象与椭圆的对称性，知
S=4×

2

1+2k2

×

2k

1+2k2

=

16k

1+2k2

(k≥2)．由此能求出四边形ABCD的面积S的最大值．

解答：解：（Ⅰ）依题意：

m-n=n 2 n =2 2

，∴

m=4 n=2

，
所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

2

=1．（3分）
（Ⅱ）设A（x，y）．
由

y=kx x2 4 + y2 2 =1

得A(

2

1+2k2

，

2k

1+2k2

)．（6分）
根据题设直线图象与椭圆的对称性，知（8分）
S=4×

2

1+2k2

×

2k

1+2k2

=

16k

1+2k2

(k≥2)．（9分）
∴S=

16

1 k +2k

(k≥2)．
设M(k)=2k+

1

k

，则M′(k)=2-

1

k2

，当k≥2时，M′(k)=2-

1

k2

＞0
∴M（k）在k∈[2，+∞）时单调递增，∴[M(k)]min=M(2)=

9

2

，（11分）
∴当k≥2时，Smax=

16

9 2

=

32

9

．（12分）

点评：本题考查椭圆的方程的求法和四边形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．