Question

3．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为$ρsin（θ+\frac{π}{4}）=2\sqrt{2}$．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+\sqrt{3}cosθ\\ y=sinθ\end{array}$（θ为参数）．求曲线C上的点到直线l的距离的最大值及相应点的坐标．

Answer 1

分析 直线l的极坐标方程化为普通方程，设出曲线C的点的坐标，利用点到直线的距离公式得到关系式，然后求解即可．

解答 解：直线l的直角坐标方程为x+y-4=0
设曲线C上点P的坐标为$（2+\sqrt{3}cosθ，sinθ）$，
∴P点到直线l：x+y-4=0的距离$d=\frac{{|2+\sqrt{3}cosθ+sinθ-4|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|\sqrt{3}cosθ+sinθ-2|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|2sin（θ+\frac{π}{3}）-2|}}{{\sqrt{2}}}$
当且仅当$sin（θ+\frac{π}{3}）=-1$，即$θ+\frac{π}{3}=-\frac{π}{2}+2kπ$，$θ=2kπ-\frac{5π}{6}（k∈Z）$时，d取得最大值$2\sqrt{2}$，此时$cosθ=cos（2kπ-\frac{5π}{6}）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，sinθ=sin（2kπ-\frac{5π}{6}）=-\frac{1}{2}$
即$P（\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}）$
故曲线C上的点到直线l的距离的最大值为$2\sqrt{2}$，相应点的坐标为$（\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}）$．

点评 本题考查直线的极坐标方程与普通方程的互化，点到直线的距离以及三角函数的最值的求法，考查计算能力．