Question

8．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），B（0，1），D（t，0）（t＞0），M为线段AD上的动点．若AM≤2BM恒成立，则正实数t的最小值为4．

Answer 1

分析 设M（x，y），由点M在线段AD上，得$\frac{x}{t}+\frac{y}{2}=1$，即2x+ty-2t=0，由AM≤2BM，得（x-$\frac{4}{3}$）²+（y+$\frac{2}{3}$）²≥$\frac{20}{9}$，
依题意，线段AD与圆（x-$\frac{4}{3}$）²+（y+$\frac{2}{3}$）²≥$\frac{20}{9}$至多有一个公共点，故$\frac{|\frac{8}{3}-\frac{8}{3}t|}{\sqrt{4+{t}^{2}}}$≥$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，由此入手即可求出正实数t的最小值．

解答 解：设M（x，y），由点M在线段AD上，得$\frac{x}{t}+\frac{y}{2}=1$，
即2x+ty-2t=0，
由AM≤2BM，得（x-$\frac{4}{3}$）²+（y+$\frac{2}{3}$）²≥$\frac{20}{9}$，
依题意，线段AD与圆（x-$\frac{4}{3}$）²+（y+$\frac{2}{3}$）²≥$\frac{20}{9}$至多有一个公共点，
故$\frac{|\frac{8}{3}-\frac{8}{3}t|}{\sqrt{4+{t}^{2}}}$≥$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
解得t≤$\frac{16-10\sqrt{3}}{11}$或t≥$\frac{16+10\sqrt{3}}{11}$，
∵t是使AM≤2BM恒成立的最小正整数，∴t=4，
故答案为：4．

点评 本题考查直线与圆的方程，考查点到直线距离公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．