Question

【题目】对于集合，若存在两个数列满足(i) ；(ii) ，则称M为一个“友谊集”，称(A，B)为的一种“友谊排列”，如A=(3，10，7，9，6)和B=(2，8，4，5，1)便是集合的一种友谊排列，记为

(1)证明：若为一个友谊集，则存在偶数种友谊排列；

(2)确定集合及的全体友谊排列．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

(1)由题设对的任意一种友谊排列(A，B)，作(A，B)的对偶排列，其中，，.

显然，也是M的一种友谊排列，且若则．

再证．

事实上，假若，则由，得，矛盾．

从而，的所有友谊排列可分成若干个对偶排列组，每组两个．

因此，的友谊排列有偶数种．

(2)设的友谊排列为.

则.

又，

以上两式相减得. ①

显然，而．

于是，由式①得只有三种情况： .

则．

由于，于是，A中的元素8只能与B中的元素7搭配．

而A中的元素6只与B中的元素2或3搭配，

因此，只有两种排列.

，则．

于是，A中的元素7、8只能与B中的元素4或6搭配，也只有两种排列

.

则．

于是，A中的元素2只能与B中的元素1搭配，8只能与4或5搭配，只有两种排列

.

因此，共有6种友谊排列．

同理，共有10种友谊排列：

，

，

，

，