Question

现有四分之一圆形的纸板（如图），∠AOB=90°，圆半径为1，要裁剪成四边形OAPB，且满足AP∥OB，，∠POA=θ，记此四边形的面积为f（θ），求f（θ）的最大值．

Answer 1

分析：表示出四边形OAPB，利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，结合角的范围，确定面积的最大值．

解答：解：由题意，f（θ）=SOAPB=

1

2

(|OB|+|AP|)•|OA|=

1

2

(

3

3

cosθ+sinθ)•cosθ …（4分）
=

1

2

(

3

3

cos2θ+sinθ•cosθ)=

1

2

(

3

3

1+cos2θ

2

+

1

2

sin2θ)=

3

6

sin(2θ+

π

6

)+

3

12

  …（8分）
又∵0＜θ＜

π

2

，∴

π

6

＜2θ+

π

6

＜

7π

6

，∴2θ+

π

6

=

π

2

∴θ=

π

6

时，面积f（θ）取最大值

3

4

  …（12分）

点评：本题考查面积的计算，考查三角函数的化简，考查三角函数的最值，确定函数解析式是关键．