Question

若函数f（x）=（1-x²）（x²+ax+b）的图象关于直线x=-2对称，则f（x）的最大值为______．

Answer 1

∵函数f（x）=（1-x²）（x²+ax+b）的图象关于直线x=-2对称，
∴将函数y=f（x）的图象向右平移2个单位，得函数y=f（x-2）的图象关于x=0对称，
可得f（x-2）=[1-（x-2）²][（x-2）²+a（x-2）+b]是偶函数
设g（x）=f（x-2）=-x⁴+（8-a）x³+（12a-b-23）x²+（28-11a+4b）x+8a-4b
∵g（-x）=g（x），
∴

8-a=0 28-11a+4b=0

，解之得

a=8 b=15

因此，f（x）=（1-x²）（x²+8x+15）=-x⁴-8x³-14x²+8x+15
求导数，得f'（x）=-4x³-24x²-28x+8
令f'（x）=0，得x₁=-2-

5

，x₂=-2，x₃=-2+

5

当x∈（-∞，-2-

5

）时，f'（x）＞0；当x∈（-2-

5

，-2）时，f'（x）＜0；
当x∈（-2，-2+

5

）时，f'（x）＞0； 当x∈（-2+

5

，+∞）时，f'（x）＜0
∴f（x）在区间（-∞，-2-

5

）、（-2，-2+

5

）上是增函数，在区间（-2-

5

，-2）、（-2+

5

，+∞）上是减函数
又∵f（-2-

5

）=f（-2+

5

）=16
∴f（x）的最大值为16
故答案为：16