Question

对于定义在R上的函数f（x），若实数x₀满足f（x₀）=x₀，则称x₀是函数f（x）的一个不动点．若函数f（x）=ax²+2x+1有一个不动点，则实数a的取值集合是

{

1

4

，0}

．

Answer 1

分析：不动点实际上就是方程f（x₀）=x₀的实数根，由题意可得方程ax²+x+1=0只有一个实根，分a≠0和a=0两种情况进行讨论，属于中档题．

解答：解：根据题意可得方程 x=ax² +2x+1只有一个实根，即方程ax²+x+1=0只有一个实根．
∴当a≠0时，由△=1-4a=0，解得 a=

1

4

．
当a=0时，方程即x+1=0，x=-1，显然满足条件．
综上可得，实数a的取值集合是 {

1

4

，0}，
故答案为 {

1

4

，0}．

点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、函数与方程的综合运用，解答该题时，借用了一元二次方程的根的判别式与根这一知识点，属于中档题．