Question

若函数f（x）=3ax-2a+1在区间[-1，1]上没有零点，则函数g（x）=（a+1）（x³-3x+4）的递减区间是

 

．

Answer 1

分析：根据f（x）=3ax-2a+1在区间[-1，1]上没有零点，得f（-1）f（1）＞0，求出a的范围，由g（x）求出g′（x），令g′（x）＜0，结合a的范围，得出x的范围，即为所求．

解答：解：∵f（x）=3ax-2a+1在区间[-1，1]上没有零点，
∴f（-1）f（1）＞0，∵f（-1）=-5a+1，f（1）=a+1
∴（-5a+1）（a+1）＞0，∴-1＜a＜

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5

∵g（x）=（a+1）（x³-3x+4），∴g′（x）=（a+1）（3x²-3）=3（a+1）（x-1）（x+1），
令3（a+1）（x-1）（x+1）＜0，，∵-1＜a＜

1

5

，∴a+1＞0，
∴（x-1）（x+1）＜0，∴-1＜x＜1，
∴函数g（x）的递减区间是 （-1，1），
故答案为（-1，1）．

点评：本题考查了零点的存在性定理，导数与单调性的关系等知识点，数形结合，得出第一步的不等式，判断导数符号时，转化不一元二次不等式求解．