Question

17．若函数f（x）为定义在R上的偶函数，当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0，且f（1）=0，则不等式lgx•f（lgx）＜0的解集为（0，$\frac{1}{10}$）∪（1，10）．

Answer 1

分析 由题意构造函数g（x）=xf （x），再由导函数的符号判断出函数g（x）的单调性，由函数f（x）的奇偶性得到函数g（x）的奇偶性，由f（1）=0得g（1）=0、还有g（-1）=0，再通过奇偶性进行转化，利用单调性求出不等式得解集．

解答 解：设g（x）=xf（x），
则g'（x）=[xf（x）]'=x'f（x）+xf'（x）=f（x）+xf′（x）＞0恒成立，
∴函数g（x）在区间（0，+∞）上是增函数，
∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴g（x）=xf（x）是R上的奇函数，
∴函数g（x）在区间（-∞，0）上是增函数，
∵f（1）=0，∴f（-1）=0；  即g（-1）=0，g（1）=0
lgx•f（lgx）＜0化为g（lgx）＜g（1），或g（lgx）＜g（-1），
∴0＜x＜$\frac{1}{10}$或1＜x＜10，
故答案为：（0，$\frac{1}{10}$）∪（1，10）．

点评 本题考查了由条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性，利用函数的单调性和奇偶性的关系对不等式进行转化，注意函数值为零的自变量的取值．