Question

9．如图，在四面体P-ABC中，PA、AB、BC两两垂直，且AB=$\sqrt{6}$，BC=$\sqrt{2}$，则二面角B-AP-C的大小为（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，过B作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-AP-C的大小．

解答 解：∵在四面体P-ABC中，PA、AB、BC两两垂直，且AB=$\sqrt{6}$，BC=$\sqrt{2}$，
∴以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，过B作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
A（$\sqrt{6}$，0，0），P（$\sqrt{6}$，0，t），C（0，$\sqrt{2}$，0），
$\overrightarrow{PA}$=（0，0，-t），$\overrightarrow{PC}$=（-$\sqrt{6}$，$\sqrt{2}$，-t），
设平面PAC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=-tz=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=-\sqrt{6}x+\sqrt{2}y-tz=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，0），
平面PAB的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
设二面角B-AP-C的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴θ=30°．
∴二面角B-AP-C的大小为30°．
故选：A．

点评 本题考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时认真审题，注意向量法的合理运用．