Question

若△ABC的内角满足sinA+

2

sinB=2sinC，则cosC的最小值是

 

．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论．

解答： 解：由正弦定理得a+

2

b=2c，得c=

1

2

（a+

2

b），
由余弦定理得cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

a2+b2- 1 4 (a+ 2 b)2

2ab

=

3 4 a2+ 1 2 b2- 2 2 ab

2ab

=

3 4 a2+ 1 2 b2

2ab

-

2

4

≥

2• 3 2 a• 2 2 b

2ab

-

2

4

=

6 - 2

4

，
当且仅当

3

2

a=

2

2

b时，取等号，
故

6 - 2

4

≤cosC＜1，故cosC的最小值是

6 - 2

4

．
故答案为：

6 - 2

4

．

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，利用基本不等式是解决本题的关键．