Question

【题目】已知函数．

（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值，并求函数的单调区间；

（2）当时，若对任意，都有恒成立，试求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1），函数的递增区间为，递减区间为；（2）.

【解析】

（1）由可求得的值，然后利用导数可求得函数的单调递增区间和减区间；

（2）由题意得出对任意的恒成立，构造函数，利用导数求出函数的最小值，进而可求得实数的取值范围.

（1），定义域为，，

由题知，解得，

则，得或（舍），

令，即且，得；

令，即且，得.

所以，函数的递增区间为，递减区间为；

（2）当时，对恒成立，

即，即对恒成立，

令，则，，

，令，得.

令，得；令，得.

所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.

所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，即，.

因此，实数的取值范围是.