Question

设a=

∫

2 0

（2-4x³）dx+10，则（x²+

a

x

）6的展开式中不含x⁶的系数和为

 

．

Answer 1

考点：定积分

专题：二项式定理

分析：求定积分得到a的值，代入，写出展开式的通项T_r+1，由x的指数等于0求得r的值，则展开式中x⁶的系数可求，进而可得到结论．

解答： 解：∵a=

∫

2 0

（2-4x³）dx+10=(2x-x4)

|

2 0

+10=2×2-2⁴+10=-2，
∴（x²+

a

x

）⁶=（x²-

2

x

）⁶．
由Tr+1=

C

r 6

  (x2)6-r(-

2

x

)r=(-1)r•2r•

C

r 6

•x12-3r．
令12-3r=6，得r=2．
∴（x²-

2

x

）⁶的展开式中含x⁶的系数为(-1)2•22•

C

2 6

=60，
而（x²-

2

x

）⁶的展开式中的所有系数和为(12-

2

1

)6=1，
故（x²+

a

x

）6的展开式中不含x⁶的系数和为1-60=-59，
故答案为：-59．

点评：本题考查定积分，关键是求出被积函数的原函数，考查二项式的展开式的通项，是中档题．