题目内容

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足 $数学公式$ = $数学公式$ ，求数列{b_n}的通项公式．

解：（1）∵a_n+1=2a_n+1∴a_n+1+1=2（a_n+1），a₁=1，
所以数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，
a_n=2ⁿ-1，
（2）∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴2（b₁+2b₂+3b₃+…+nb_n）-2n=n²，
即2（b₁+2b₂+3b₃+…+nb_n）=n²+2n①
当n≥2时，2[b₁+2b₂+3b₃+…（n-1）b_n-1]=（n-1）²+2（n-1）②
①-②得，2nb_n=2n+1，b_n=1+ $\text{[math]}$ ，
当n=1时也适合，所以b_n=1+ $\text{[math]}$ ，
分析：（1）由a_n+1=2a_n+1得出a_n+1+1=2（a_n+1）构造等比数列{a_n+1}，求出其通项公式后即可求出数列{a_n}的通项公式
（2）由（1）a_n+1=2ⁿ，得出2（b₁+2b₂+3b₃+…+nb_n）=n²+2n①，当n≥2时，2[b₁+2b₂+3b₃+…（n-1）b_n-1]=（n-1）²+2（n-1）②
两式相减，得出，b_n=1+ $\text{[math]}$ ，当n=1时也适合．
点评：本题考查等比数列的判定、数列通项公式求解．考查转化构造、计算能力．