Question

（本小题满分14分）

已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线斜率为3．

（1）求实数的值；

（2）若，且对任意恒成立，求的最大值；

（3）当时，证明．

Answer 1

（本小题满分14分）

（本小题主要考查函数的值域、导数、不等式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，以及创新意识．）

（1）解：因为，所以．……………………………1分

因为函数的图像在点处的切线斜率为3，

所以，即．

所以．…………………………………………………………………………………2分

（2）解：由（1）知，，

所以对任意恒成立，即对任意恒成立．………………………3分

令，

则，……………………………………………………………………4分

令，

则，

所以函数在上单调递增．……………………………………………5分

因为，

所以方程在上存在唯一实根，且满足．

当，即，当，即，………………6分

所以函数在上单调递减，在上单调递增．

所以

．…………………7分

所以．

故整数的最大值是3．…………………………………………………………………8分

（3）证明1：由（2）知，是上的增函数，……………………9分

所以当时，．……………………………………………………10分

即．

整理，得

．………………………………………11分

因为， 所以．……………………………12分

即．

即．…………………………………………………………13分

所以

．………………………………………………………………………14分

证明2：构造函数

，………………………………………9分

则．………………………………………………10分

因为，所以．

所以函数在上单调递增．……………………………………11分

因为， 所以．

所以

．…12分

即．

即．

即．……………………………………………………………13分

所以．………………………………………………………………14分