题目内容
【题目】几千年的沧桑沉淀，凝练了西樵山的美，清幽秀丽的自然风光，文化底蕴厚重的旅游，古朴自然的民俗风情.自明清以来，文人雅士，群贤毕至，旅人游子，纷至沓来，使秀美的西樵山成为名嗓南粤的旅游热点.如图，游客从某旅游景区的景点
处下山至
处有两种路径，一种是从沿直线步行到，另一种是先从乘景区观光车到
，然后从沿直线步行到.现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿
匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从乘观光车到，在处停留20分钟后，再从匀速步行到.假设观光车匀速直线运行的速度为250米/分钟，山路长为2340米，经测量，
，
.
（1）求观光车路线
的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在观光车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】
（1）根据正弦定理即可确定
的长；
（2）假设乙出发
分钟后，甲，乙两游客距离为
，此时，甲行走了
，乙距离
处
，利用余弦定理求出乙在观光车上与甲的距离最短时的时间；
（3）设乙步行的速度为
，利用正弦定理求
的长，进而求出
的取值范围.
（1）在
中，因为
，
所以
，
从而
=
，
由正弦定理
，
得
，
所以观光车路线的长为
（2）假设乙出发分钟后，甲，乙两游客距离为，此时，甲行走了，乙距离处，由余弦定理得
因
，即
，故当时，甲，乙两游客的距离最短；
（3）由正弦定理
，
得
，
乙从
出发时，甲已经走了
，
甲还需走
才能到达
，
设乙步行的速度为，由题意得
解得
，
所以为使两位游客在处相互等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在范围内.
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