题目内容

设椭圆C：（a＞b＞0）的一个顶点坐标为A（），且其右焦点到直线的距离为3．
（1）求椭圆C的轨迹方程；
（2）若A、B是椭圆C上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点M，则称弦AB是点M的一条“相关弦”，如果点M的坐标为M（），求证点M的所有“相关弦”的中点在同一条直线上；
（3）根据解决问题（2）的经验与体会，请运用类比、推广等思想方法，提出一个与“相关弦”有关的具有研究价值的结论，并加以解决．（本小题将根据所提出问题的层次性给予不同的分值）
【答案】分析：（1）根据椭圆的焦点在x轴上，可知），根据右焦点到直线的距离为3，可得，从而可求a=2，故可得椭圆C的轨迹方程；
（2））设A（x1，y1），B（x2，y2），中点为P（x，y），
由于，所以，利用点在椭圆上，有（x1-x2）（x1+x2）+2（y1-y2）（y1+y2）=0，由此能导出点M的所有“相关弦”的中点在同一条直线x=1上．
（3）椭圆到一般，点到一般即可得结论：若A、B是椭圆（a＞b＞0））上的不同两点．弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点M，则称弦AB是点M的一条“相关弦”，如果点M的坐标为M（t，0），当时，证明：点M的所有“相关弦”的中点在同一条直线上．
解答：解：（1），
根据右焦点到直线的距离为3，可得，∴a=2
∴椭圆C的标准方程：
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），中点为P（x，y），
由于，所以（Ⅰ）
则x12+2y12①x22+2y22②．
由①②两式相减得：x12-x22+2y12-2y22=0
即（x1-x2）（x1+x2）+2（y1-y2）（y1+y2）=0（Ⅱ）
由（Ⅰ），（Ⅱ）得：x=1
因此：点M的所有“相关弦”的中点在同一条直线x=1上．
（3）椭圆到一般，点到一般
 若A、B是椭圆（a＞b＞0））上的不同两点．弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点M，则称弦AB是点M的一条“相关弦”，如果点M的坐标为M（t，0），当时，证明：点M的所有“相关弦”的中点在同一条直线上．
点评：本题的考点是直线与圆锥曲线的综合问题，主要考查椭圆标准方程的求解，考查点差法，同时考查学生探究能力，有一定的难度．
练习册系列答案
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设椭圆C：（a>b>0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，，，则C的离心率为(   )

A．          B．          C．     D．

 

（12分）

设椭圆C：（a>b>0）过点（0,4），离心率为

（1）   求C的方程。

（2）   求过点（3,0）且斜率为 的直线被椭圆C所截线段的中点坐标。

 

 
设椭圆C：（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为，
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标。
设椭圆C：（a＞b＞0） 的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且，
(Ⅰ)求椭圆C的离心率；
(Ⅱ)若过A，Q，F2三点的圆恰好与直线l：相切，求椭圆C的方程：
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点，在x轴上是否存在点P(m，0)使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，说明理由．
设椭圆C：（a＞b＞0）的一个顶点坐标为A（），且其右焦点到直线的距离为3．
（1）求椭圆C的轨迹方程；
（2）若A、B是椭圆C上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点M，则称弦AB是点M的一条“相关弦”，如果点M的坐标为M（），求证：点M的所有“相关弦”的中点在同一条直线上；
（3）对于问题（2），如果点M坐标为M（t，0），当t满足什么条件时，点M（t，0）存在无穷多条“相关弦”，并判断点M的所有“相关弦”的中点是否在同一条直线上．

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