Question

（2008•卢湾区二模）已知数列{a_n}的前n项和S_n可用组合数表示为S_n=C_n+3³-C_n+2³+C_n⁰．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若f（n）为关于n的多项式，且满足

lim

n→∞

[

Sn

an

-f(n)]=2，求f（n）的表达式．

Answer 1

分析：（1）由组合数的性质可求S_n，利用地推公式当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n+1，当n=1时，a₁=S₁，可求a_n
（2）由（1）可得

lim

n→∞

[

Sn

an

-f(n)]=

lim

n→∞

[

n2+3n+4

2(n+1)

-f(n)]=

lim

n→∞

n2+3n+4-2(n+1)f(n)

2(n+1)

=2，可设f（n）=an+b，代入得

1-2a=0 3-2b-2a 2 =2

可求a，b，进而可求f（n）

解答：解：（1）Sn=

C

3 n+3

-

C

3 n+2

+

C

0 n

=

n2+3n+4

2

，（3分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n+1，当n=1时，a₁=S₁=4，
因此an=

4 n=1 n+1   n≥2.

（7分）
（2）

lim

n→∞

[

Sn

an

-f(n)]=

lim

n→∞

[

n2+3n+4

2(n+1)

-f(n)]=

lim

n→∞

n2+3n+4-2(n+1)f(n)

2(n+1)

，
（9分）
由题设

lim

n→∞

n2+3n+4-2(n+1)f(n)

2(n+1)

=2，由于当多项式f（n）中n的最高次数大于或等于2时，极限不存在，
故可设f（n）=an+b，
代入得

lim

n→∞

(1-2a)n2+(3-2b-2a)n+4-2b

2n+2

=2，即

1-2a=0 3-2b-2a 2 =2

（12分）
解得a=

1

2

，b=-1，因此f(n)=

1

2

n-1．                         （14分）

点评：本题主要考查了组合数的应用，及利用地推公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

求解数列的通项公式，及数列的极限存在的条件和数列极限的求解，