Question

已知函数f（x）=x（x-a）²+b在x=2处有极大值．
（Ⅰ）当[-2，4]时，函数y=f（x）的图象在抛物线y=1+45x-9x²的下方，求b的取值范围．
（Ⅱ）若过原点有三条直线与曲线y=f（x）相切，求b的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：（1）其中一个函数的图象在另一个函数图象的下方，转化为两个函数的“差函数”在相应区间内恒小于0的问题；
（2）求切线主要还是抓住切点，因此既然有三条切线，因此应该有三个切点，也就是利用切点表示的方程将原点代入后，得到关于切点横坐标x的方程有三个不同的实数根．再结合导数研究函数的图象求解．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=x（x-a）²+b=x³-2ax²+a²x+b⇒f'（x）=3x²-4ax+a²，f'（2）=12-8a+a²=0⇒a=2或a=6，
当a=2时，函数在x=2处取得极小值，舍去；
当a=6时，f'（x）=3x²-24x+36=3（x-2）（x-6），
函数在x=2处取得极大值，符合题意，∴a=6．
∵当x∈[-2，4]时，函数y=f（x）的图象在抛物线y=1+45x-9x²的下方，
∴x³-12x²+36x+b＜1+45x-9x²在x∈[-2，4]时恒成立，
即b＜-x³+3x²+9x+1在x∈[-2，4]时恒成立，令h（x）=-x³+3x²+9x+1，
则h'（x）=-3x²+6x+9=-3（x-3）（x+1），由h'（x）=0得，x₁=-1，x₂=3．
∵h（-2）=3，h（-1）=-4，h（3）=28，h（4）=21，
∴h（x）在[-2，4]上的最小值是-4，b＜-4．
（Ⅱ）f（x）=x³-12x²+36x+b，设切点为(x0，

x

3 0

-12

x

2 0

+36x0+b)，
则切线斜率为f′(x)=3

x

2 0

-24x0+36，
切线方程为y-

x

3 0

+12

x

2 0

-36x0-b=(3

x

2 0

-24x0+36)(x-x0)，
即  y=(3

x

2 0

-24x0+36)x-2

x

3 0

+12

x

2 0

+b，
∴-2

x

3 0

+12

x

2 0

+b=0⇒b=2

x

3 0

-12

x

2 0

．
令g（x）=2x³-12x²，则g'（x）=6x²-24x=6x（x-4），
由g'（x）=0得，x₁=0，x₂=4．
函数g（x）的单调性如下：

x	（-∞，0）	0	（0，4）	4	（4，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗	极大值0	↘	极小值-64	↗

∴当-64＜b＜0时，方程b=g（x）有三个不同的解，过原点有三条直线与曲线y=f（x）相切．

点评：本题充分体现了数形结合的思想在研究函数的零点中的作用，当然利用导数研究单调性、极值之必须走的常规路子．