Question

15．设S为实数集R的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x+y，x-y，xy∈S，则称S为封闭集，下列说法：
①集合S={a+b$\sqrt{3}$|a，b为整数}为封闭集；
②若S为封闭集，则一定有0∈S；
③封闭集一定有无数多个元素；
④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是封闭集．
其中的正确的说法是①②（写出所有正确说法的序号）．

Answer 1

分析 由题意直接验证①即可判断正误；令x=y可推出②是正确的；找出反例集合S={0}，即可判断③的错误；令S={0}，T={0，1}，推出-1不属于T，判断④是错误的

解答 解：①设x=a+b$\sqrt{3}$，y=c+d$\sqrt{3}$，（a，b，c，d为整数），
则x+y∈S，x-y∈S，xy=（ac+3bd）+（bc+ad）$\sqrt{3}$∈S，S为封闭集，①正确；
②当S为封闭集时，因为x-y∈S，取x=y，得0∈S，②正确；
③对于集合S={0}，显然满足所有条件，但S是有限集，③错误；
④取S={0}，T={0，1}，满足S⊆T⊆C，但由于0-1=-1不属于T，故T不是封闭集，④错误．
故答案为：①②．

点评 本题考查对封闭集定义的理解及运用，考查集合的子集，集合的包含关系判断及应用，以及验证和举反例的方法的应用，是一道中档题